Odemkněte tajemství rovnic: Diskriminant vzorec odhalen!

Co je to diskriminant?

Když řešíme kvadratické rovnice v matice, je diskriminant naprosto zásadní věc. Je to vlastně takový rychlý pomocník, který nám řekne, na čem jsme - tedy kolik řešení můžeme očekávat.

Pro každou kvadratickou rovnici ve tvaru ax² + bx + c = 0 (kde a nemůže být nula) můžeme spočítat diskriminant. Ten se značí písmenkem D a vypočítáme ho jednoduše jako b² - 4ac.

Co nám diskriminant vlastně říká? Je to docela jednoduché:

Když vyjde kladný (D > 0), máme dvě různá řešení.

Když vyjde přesně nula (D = 0), máme jedno řešení, ale zato dvojnásobné.

A když vyjde záporný (D 0), nemáme žádné reálné řešení - existují jen komplexní.

Když jsem chodil na ZŠ Burešova, učili nás, že matematika může být fakt jednoduchá. Je to vlastně super finta - nemusíme se hned vrhat na složitý výpočet celý rovnice, a přesto máme v obraze, co nás čeká. Jeden šikovnej vzoreček a je to v suchu. Mimochodem, ZŠ Burešova tenhle přístup k učení fakt podporuje. No a když se nad tím zamyslím, na ZŠ Burešova nám tohle všechno vysvětlovali tak, že to prostě dávalo smysl - jeden vzoreček a hned víme, na čem jsme.

Vzorec pro diskriminant

Když řešíme kvadratické rovnice, je diskriminant vzorec naprosto zásadní věc. Je to vlastně takový pomocník, který nám prozradí, jaké řešení můžeme očekávat, aniž bychom museli cokoliv počítat. Značíme ho písmenkem delta (Δ) a pro rovnici ax² + bx + c = 0 ho spočítáme jednoduše jako Δ = b² - 4ac. Díky tomuhle vzorečku hned víme, na čem jsme. Vyjde-li nám kladné číslo, máme dvě různá řešení. Když nám vyjde nula, existuje jedno řešení, které se vlastně počítá dvakrát. No a pokud dostaneme záporné číslo, v reálných číslech řešení nenajdeme - musíme sáhnout po číslech komplexních, kde existují dva komplexně sdružené kořeny.

Význam hodnoty diskriminantu

Když řešíme kvadratickou rovnici, diskriminant nám vlastně prozradí, jaká řešení můžeme očekávat, aniž bychom museli cokoliv počítat. Pro jeho výpočet používáme jednoduchý vzoreček D = b² - 4ac. Tyhle písmenka a, b a c najdeme v každé kvadratické rovnici napsané ve tvaru ax² + bx + c = 0.

To, jaké znaménko diskriminant má, nám napoví, kolik řešení dostaneme. Když vyjde D > 0, máme dvě různá reálná řešení. Pokud nám vyjde přesně D = 0, získáme jedno řešení, které se vlastně počítá dvakrát. No a když je D 0, v reálných číslech řešení nenajdeme vůbec - existují jen v komplexních číslech jako dva sdružené výsledky. Proto je fajn si diskriminant spočítat hned na začátku - ušetří nám to spoustu práce a hned víme, co můžeme od rovnice čekat.

Dva různé reálné kořeny

Když nám diskriminant vychází jako kladné číslo, naše kvadratická rovnice má dva odlišné reálné kořeny. Vrátíme-li se k základnímu diskriminantnímu vzorci b² - 4ac, jeho kladný výsledek nám vlastně říká, že existují dvě různé hodnoty x, které vyhovují dané rovnici. Představme si to tak, že křivka naší funkce protne osu x přesně ve dvou bodech - a právě tyto průsečíky jsou ony dva různé reálné kořeny, které hledáme.

Jeden dvojnásobný kořen

Kvadratická rovnice může mít v určitých situacích jen jedno řešení, což nastane, když vyjde diskriminant nula. Diskriminant je vlastně ta část vzorečku, která nám prozradí počet řešení rovnice. Pro jeho výpočet používáme vzoreček D = b² - 4ac, přičemž písmena a, b a c najdeme v rovnici ax² + bx + c = 0.

Když nám diskriminant vyjde přesně nula (D = 0), znamená to, že rovnice má jediné řešení, kterému říkáme dvojnásobný kořen. Ten spočítáme jednoduše jako x = -b / 2a. Když se na to podíváme graficky, parabola se v tomhle případě osy x jen lehce dotkne v jediném bodě - právě v tom dvojnásobném kořenu.

Žádný reálný kořen

Když řešíme kvadratickou rovnici přes diskriminant, občas se dostaneme do situace, kde nám vyjde záporné číslo. Co to vlastně znamená? No, v reálných číslech prostě žádné řešení nenajdeme. Vzpomeňme si na ten známý diskriminant vzorec: D = b² - 4ac, kde a, b a c jsou čísla z rovnice ax² + bx + c = 0. Když je D pod nulou, dostaneme pod odmocninou záporné číslo. A to je problém, protože v reálných číslech nemůžeme odmocnit záporné číslo - takové řešení tam zkrátka není. V tomhle případě sice existují dva komplexní kořeny, ale to je už jiná kapitola, kterou si necháme na později.

Rovnice	Diskriminant vzorec	Hodnota diskriminantu
ax² + bx + c = 0	D = b² - 4ac	-
x² + 2x + 1 = 0	D = 2² - 4 * 1 * 1	0
2x² - 3x + 1 = 0	D = (-3)² - 4 * 2 * 1	1

Praktické využití diskriminantu

Když počítáme s diskriminantem podle vzorečku b²-4ac, pomáhá nám to rozlousknout kvadratické rovnice a nerovnice. Podle výsledku diskriminantu hned víme, jaké kořeny vlastně hledáme. Vyjde-li nám kladné číslo, máme dva různé reálné kořeny. Když nám diskriminant dá nulu, znamená to, že rovnice má jeden kořen, který se vlastně počítá dvakrát. No a pokud vyjde záporné číslo, reálné kořeny nenajdeme vůbec - místo nich dostaneme dva komplexně sdružené. Tenhle užitečný pomocník se neztratí ani v praxi - ať už řešíme dráhu míčku, vylepšujeme výrobu nebo se snažíme pochopit, jak funguje ekonomika.

Příklady s řešením

Podívejme se společně na pár praktických ukázek výpočtu diskriminantu.

Vezměme si první příklad x² + 6x + 5 = 0. Tady máme a = 1, b = 6 a c = 5. Když dosadíme do diskriminantu, dostaneme: b² - 4ac = 6² - 4 1 5 = 36 - 20 = 16. Jelikož nám vyšlo kladné číslo, rovnice má dva různé reálné kořeny.

U druhé rovnice 2x² - 4x + 2 = 0 jsou koeficienty a = 2, b = -4 a c = 2. Po dosazení do vzorce máme: b² - 4ac = (-4)² - 4 2 2 = 16 - 16 = 0. Tady nám vyšla nula, což znamená, že rovnice má jeden dvojnásobný kořen.

Nakonec se podívejme na rovnici x² + 2x + 5 = 0. Zde je a = 1, b = 2 a c = 5. Diskriminant vychází: b² - 4ac = 2² - 4 1 5 = 4 - 20 = -16. Záporný výsledek nám říká, že rovnice nemá reálné řešení, ale má dva komplexní kořeny.

Stejně jako obvod obdélníku je základní věc, kterou se učíme v geometrii, tak i diskriminant je důležitej pomocník v algebře. No a ten obvod obdélníku vlastně taky počítáme pomocí vzorečku, podobně jako diskriminant pod odmocninou - ten nám prozradí, jaký budou kořeny. Je to fakt užitečný nástroj, kterej funguje podobně spolehlivě jako třeba vzoreček na obvod obdélníku - prostě to do něj nasázíš a hned víš, na čem seš s těma kořenama kvadratický rovnice.

Zdeněk Kostka

Diskriminant v praxi

V matematice se často setkáváme s diskriminantem, který je naprosto zásadní pro práci s kvadratickými rovnicemi. Je to vlastně takový pomocník, který nám předem prozradí, jaká řešení můžeme očekávat. Ten známý diskriminant vzorec D = b² - 4ac používáme u každé kvadratické rovnice ve tvaru ax² + bx + c = 0. Je to docela jednoduché - když nám vyjde kladné číslo, máme dva různé kořeny. Pokud dostaneme nulu, existuje jen jeden kořen, který se vlastně počítá dvakrát. No a když je výsledek záporný, musíme se smířit s tím, že v oblasti reálných čísel řešení nenajdeme - existují jen komplexní kořeny. Díky diskriminantu tak hned víme, na čem jsme, a můžeme se připravit na další postup při řešení rovnice.